Kata Pengantar
Bismillahirrahmanirrahim
Puji syukur
kami panjatkan kepada Allah S.W.T. karena atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga
kami dapat menyelesaikan tugas makalah Pendidikan Matematika yang dibimbing
oleh Ibu Dini Kinati Fardah, M.Pd. dengan judul Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan
Terkecil sesuai dengan waktu yang telah ditentukan.
Shalawat serta
salam semoga tetap tercurahkan kepada nabi kita yaitu Nabi Muhammad S.A.W. yang
telah membawa kita dari alam kebodohan menuju ke alam yang penuh dengan ilmu
pengetahuan seperti saat sekarang.
Kami menyadari
bahwa dalam pembuatan makalah ini terdapat banyak kesalahan dan kelemahan. Maka
dari itu kami mohon saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan makalah
ini.
Salatiga, 24 Maret 2014
DAFTAR ISI
Kata Pengantar...................................................................................... 1
Daftar Isi............................................................................................... 2
Bab I Pendahuluan................................................................................ 3
1.1 Latar Belakang................................................................................ 3
1.2 Rumusan Masalah............................................................................ 4
1.3 Tujuan Masalah................................................................................ 4
Bab II Pembahasan................................................................................ 5
2.1 Faktor Persekutuan Terbesar........................................................... 5
2.2 Kelipatan Persekutuan Terkecil...................................................... 11
2.3 Hubungan Antara FPB dan KPK.................................................... 14
Bab III Kesimpulan dan Penutup.......................................................... 15
3.1 Kesimpulan...................................................................................... 15
3.2Penutup............................................................................................. 16
Daftar Pustaka....................................................................................... 17
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Salah
satu upaya untuk meningkatkan pemahaman ilmu dan teknologi yaitu melalu
pemahaman berbagai macam ilmu pengetahuan secara interdisiplin. Ilmu matematika
besar sekali manfaatnya di dalam memahami
ilmu dan teknologi sekaligus. Dalam
memahami ilmu matematika disebutkan batas usia. Hal ini berarti pemahaman ilmu
matematika dapat dimulai sejak dini.
Matematika sebagai salah
satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan
berpikir setiap orang, oleh karena itu kesadaran untuk mampu mengetahui dan
memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak usia
dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika
diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika.
Salah satu materi yang
menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman yang baik tentang
konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain,
seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang diajarkan dari
tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematika
SMA.
Oleh karena itu, makalah ini akan membahas tentang permasalahan
tersebut di atas, yakni tentang Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan
Persekutuan Terkecil.
1.2 Rumusan
Masalah
1.2.1
Apakah yang dimaksud dengan Faktor Persekutuan
Terbesar?
1.2.2
Apakah yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan
Terkecil?
1.2.3
Bagaimana cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar?
1.2.4
Bagaimana cara menentukan Kelipatan Persekutuan
Terkecil?
1.3 Tujuan
Masalah
1.3.1
Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan Faktor
Persekutuan Terbesar?
1.3.2
Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan
Kelipatan Persekutuan Terkecil?
1.3.3
Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Faktor
Persekutuan Terbesar?
1.3.4
Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Kelipatan
Persekutuan Terkecil?
BAB II
PEMBAHASAN
2.1Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB)
A.
Faktor Suatu Bilangan
Faktor adalah
bilangan yang membagi habis suatu bilangan.[1]
Sejak anak mempelajari operasi hitung, terutama
operasi hitung perkalian
telah dihadapkan dengan perkataan “factor”.
Misalnya
:
dan 15 disebut factor dari 15, karena 15 dapat
habis dibagi 3, 5, 1, dan 15.
Dengan kata lain bahwa suatu bilangan
merupakan hasil dari berbagai bilangan factor.[2]
Factor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan
yang merupakan bagian atau unsure dari hasil perkalian.
3 (bilangan yang dikali) dan 4 (bilangan
pengali) adalah factor dari 12 (bilangan hasil kali). Jika masih ada perkalian
lain yang hasilnya 12, maka
bilangan yang
dikali dan bilangan pengalinya juga termasuk factor bilangan 12.[3]
Contoh :
Pembagian bilangan 8 dengan 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, dan 8
8 habis dibagi
1, 2, 4, dan 8. Jadi bilangan 1, 2, 4, dan 8 merupakan factor dari 8.
8 tidak habis
dibagi 3, 5, 6, dan 7. Jadi bilangan 3, 5, 6, dan 7 bukan merupakan factor dari
8.
B.
Faktor Prima
Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya mempuyai 2 faktor yang berlainan,
yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.[4]
Dan dari semua bilangan prima, hanya bilangan 2 yang merupakan bilangan genap,
sisanya adalah bilangan ganjil.[5]
Contoh :
Factor dari 1 = 1 1 bukan
bilagan prima karena faktornya
Factor dari 2 = 1, 2
hanya 1.
Factor dari 3 = 1, 3 2, 5, 7
merupakan bilangan prima,
Factor dari 4 = 1, 2, 4 karena mempunyai 2
faktor yaitu 1 dan
Factor dari 5 = 1, 5 bilangan itu
sendiri.
Factor dari 6 = 1, 2, 3, 6 2, 4, 6 bukan bilangan
prima karena
Faktor dari 7 = 1, 7 mempunya lebih dari 2 faktor.
Bilangan prima antara 1 dan 100
antara lain : 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, dan 97.
Contoh soal :
Berapakah
factor prima dari 10?
Jawab :
1, 2, 5, dan 10
adalah factor dari 10.
1 x 10 kita
tinggal melihat factor
= 10 yang ada saja. Manakah yang
2 x 5 merupakan bilangan
prima?
Maka,
factor prima dari 10 adalah 2 dan 5.
C.
Faktorisasi Prima
Menguraikan bilangan
menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini
diperlukan pohon faktor.
Contoh :
Faktor prima dari 80
adalah
Jawab:
Untuk menentukan
faktor prima dari 80, dengan cara:
a. Membuat pohon faktor
b. Didapat: 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5
c. Jadi faktor prima dari 80 adalah 2 dan 5
Dan faktorisasi
primanya adalah 24.5
D. Faktor Persekutuan dari Dua Bilangan
Faktor persekutuan
adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Factor persekutuan dari dua bilangan
adalah factor-faktor yang sama dari kedua bilangan tersebut.[6]
Contoh soal :
Berapakah factor persekutuan dari 12 dan
20?
Dengan cara petak perkalian :
12
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
12
|
12
|
6
|
4
|
3
|
2
|
1
|
20
|
20
|
10
|
5
|
4
|
2
|
1
|
1
|
2
|
4
|
5
|
10
|
20
|
Factor
dari 12 adalah 1, 2, 3. 4. 6, dan 12.
Factor
dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, dan 20.
Factor
dari 12 dan 20 yang sama adalah 1, 2, dan 4.
Jadi,
factor persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan 4.
E. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
FPB adalah
singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau
angka-angka pembagi yang paling besar dari suatu bilangan.[7]
Untuk
menentukan factor persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu
factor-faktor dari a dan b, kemudian identifikasi dan kumpulkan factor yang
sama, selanjutnya pilih yang terbesar.
Factor
persekutuan terbesar dari a dan b ditulis dengan notasi FPB (a,b) atau (a,b).[8]
a.
Mencari FPB dengan factor persekutuan
Mencari FPB dengan cara menentukan factor
persekutuan, kemudian memilih bilangan yang paling besar.
Contoh 1 :
FPB dari 4 dan 6 adalah..
Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4 }
Faktor dari 6 adalah = {1, 2, 3, 6}
Faktor persekutuannya adalah 1 dan 2
Nilai yang terbesar adalah 2, sehingga FPBnya adalah 2
Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4 }
Faktor dari 6 adalah = {1, 2, 3, 6}
Faktor persekutuannya adalah 1 dan 2
Nilai yang terbesar adalah 2, sehingga FPBnya adalah 2
Contoh 2 :
FPB dari 20 dan 48
adalah..
Factor dari 20 adalah =
{1, 2, 4, 5, 10, 20}
Factor dari 48 adalah =
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 48}
Factor persekutuannya
adalah 1, 2, dan 4.
Nilai terbesar adalah
4, jadi FPBnya adalah 4.
b.
Mencari FPB dengan
Faktorisasi Prima
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
·
Ambil bilangan faktor yang sama
·
Ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan
Contoh :
FPB dari 12 dan 16 adalah..
Pohon akar:
Jadi, FPB dari 12 dan 16 adalah
(FPB diambil dari hasil perkalian factor yang
sama dengan pangkat terkecil)[9]
2.2 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
A. Kelipatan Suatu Bilangan
Kelipatan adalah
penjumlahan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara terus menerus.
Kelipatan suatu
bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan hasil perkalian suatu bilangan
dengan bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, …)
Contoh :
3, 6, 9, 12, 15, 18
merupakan bilangan kelipatan 3
B. Kelipatan Persekutuan dari Dua Bilangan
Kelipatan persekutuan
adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih. Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan-kelipatan yang
sama dari dua bilangan tersebut.
Contoh :
Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, ...
Bilangan kelipatan 4
adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, …
Bilangan kelipatan 3
dan 4 yang sama adalah 12, 24, 36, 48, 60.
Bilangan 12, 24, 36,
48, dan 60 disebut kelipatan persekutuan dari 3 dan 4.
C. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan Terkecil,
yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya paling kecil.[10]
Untuk menentukan kelipatan
persekutuan terkecil dari dua bilangan a dan b, yaitu dengan mencari semua
kelipatan dari a dan b, kemudian diidentifikasi dan dikumpulkan semua kelipatan
yang sama. Selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil.
KPK dari dua bilangan a dan b
ditulis dengan notasi KPK (a, b) atau [a,b].[11]
a. Mencari KPK dengan kelipatan persekutuan
Mencari FPB dengan cara menentukan kelipatan
persekutuan, kemudian memilih bilangan yang paling kecil.
Contoh:
KPK dari 4 dan 8
adalah..
Jawab:
Kelipatan 4 adalah =
{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ....}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, ...}
Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, ... ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8.
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, ...}
Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, ... ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8.
b.
Mencari KPK dengan
Faktorisasi Prima
Langkah-langkahnya
sebagai berikut:
·
semua bilangan faktor
dikalikan.
·
apabila ada yang sama
ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya.
Contoh:
KPK dari 12
dan 16 adalah..
Jawab:
Pohon akar
Jadi, KPK dari 12 dan 16 adalah
(KPK diambil dari hasil perkalian semua factor
dan factor yang sama dengan pangkat terbesar)[12]
2.1
Hubungan FPB
dan KPK
Untuk mencari KPK atau FPB dari dua bilangan jika
salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui dapat digunakan rumus sebagai
berikut:
Contoh:
1. Tentukan KPK dan FPB dari 16 dan 24!
Penyelesaian:
16 = 24
24 = 23 . 3
FPB (16,24) = 23
= 8
2. Tentukan KPK dan FPB dari 20 dan 48 !
Penyelesaian :
KPK (20, 48)
FPB (20, 48)
Dari contoh 2 ini
terlihat bahwa pekerjaan akan lebih sulit bila ditentukan KPK-nya terlebih
dahulu, baru dicari FPB-nya.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
FPB
adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau
angka-angka pembagi yang paling besar dari suatu bilangan.
Untuk
menentukan factor persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu
factor-faktor dari a dan b, kemudian identifikasi dan kumpulkan factor yang
sama, selanjutnya pilih yang terbesar.
Factor
persekutuan terbesar dari a dan b ditulis dengan notasi FPB (a,b) atau (a,b).
Kelipatan Persekutuan Terkecil,
yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang
nilainya paling
kecil.
Untuk menentukan kelipatan
persekutuan terkecil dari dua bilangan a dan b, yaitu dengan mencari semua
kelipatan dari a dan b, kemudian diidentifikasi dan dikumpulkan semua kelipatan
yang sama. Selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil.
KPK dari dua bilangan a dan b
ditulis dengan notasi KPK (a, b) atau [a,b].
Sedangkan untuk menentukan FPB
dan KPK ada dua cara yakni dengan factor persekutuan dan kelipatan persekutuan
serta dengan faktorisasi prima.
3.2 Penutup
Alhamdulillahhirobbilalamin
Demikian yang dapat kami paparkan mengenai
materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, Tentu masih banyak
kekurangan dan kelemahannya karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya
rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.
Penulis banyak berharap para pembaca yang
budiman memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi
sempurnanya makalah ini dan makalah-makalah di kesempatan berikutnya. Semoga
makalah ini berguna bagi penulis khususnya juga para pembaca yang budiman pada
umumnya.
DAFTAR PUSTAKA
Khafid, M.
2007. Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Kelas IV. Jakarta :
Penerbit Erlangga.
Marwiyanto,
dkk. 2008. Matematika untuk SD dan MI Kelas IV. Jakarta : Piranti Darma
Kalokatama
Marwiyanto,
dkk. 2008. Matematika untuk SD dan MI Kelas VI. Jakarta : Piranti Darma
Kalokatama
Moesnono,
Djoko. 1993. Matematika 4. Jakarta : Balai Pustaka
Simanjuntak,
Lisnawati. 1993. Metode Mengajar Matematika. Jakarta : PT Rineka Cipta
Sukahar. 1996. Matematika
6. Jakarta : Balai Pustaka.
(….). Pendidikan
Matematika. PDGK/Modul.
[2]
Lisnawati Simanjuntak, Metode Mengajar Matematika, PT Rineka Cipta,
Jakarta, 1993, hlm.5.
[3]
M.Khafid, Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Kelas IV, Penerbit Erlangga,
Jakarta, 2007, hlm.71.
[4]
Djoko Moesono, Sujono, Matematika 4, Balai Pustaka, Jakarta, 1993, hlm.143
[8]
PDGK4203, Pendidikan Matematika, Jakarta. Hlm.6.9.
[9]
Tim Bina Guru, Soal-soal dan Penyelesaian Matematika, Erlangga, Jakarta, 1994,
hlm.30.
[11]PDGK4203,
loc cit, hlm. 6.3.
[12]
Tim Bina Guru, op cit.
